洛必达法则怎么证明呢

2026-02-04 14:54:12

洛必达法则用于求解不定型极限（如0/0或∞/∞），其核心思想是通过导数比较函数的增长率。证明过程通常基于柯西中值定理。

证明步骤	内容说明
1. 假设条件	设 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在 $ x=a $ 附近可导，且 $ lim_{x o a} f(x) = lim_{x o a} g(x) = 0 $ 或 $ infty $
2. 应用柯西中值定理	存在 $ c in (a, x) $，使得 $ frac{f(x)}{g(x)} = frac{f (c)}{g (c)} $
3. 取极限	当 $ x o a $ 时，$ c o a $，故 $ lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o a} frac{f (x)}{g (x)} $

注意：该法则仅适用于特定条件，使用时需验证前提是否满足。